Límites infinitos

Límites infinitos 

 límites infinitos

Se dice que un Límite es infinito , cuando los límites no existen porque la función es infinitamente grande. Por lo general cumplen dos criterios, que son los siguientes:

  1. El límite infinito solo puede ocurrir cuando el límite tiene la forma n/0 para todo n≠0.
  2. Hay la necesidad de examinar los límites unilaterales.

Definición 

Supongamos que f(x) se aproxima arbitrariamente a un valor finito particular L a medida que x se vuelve infinitamente grande. Entonces L es el límite de f(x) cuando x va al infinito, y lo escribimos matemáticamente de esta manera:

\displaystyle \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=L

⚠ Explicación de la Notación

Límite de x cuando tiende al infinito

Límites que tienden a menos infinito

De manera similar, cuando un límite tiende a menos infinito, significa que la función se aproxima a L a medida que x crece infinitamente grande en la dirección negativa.

\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=L

💡 Estimando Límites al infinito con Gráficas y Tablas

 Problema 1.- Use la gráfica de abajo para estimar el siguiente límite 

\displaystyle \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)

Gráfica de problemas de límites al infinito

Solución:

El gráfico parece indicar que el valor de la función se acerca a 4 a medida que x aumenta de tamaño.

\displaystyle \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)\approx 4

 Problema 2.- Use la gráfica de abajo para estimar los siguientes límites

\displaystyle \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)

\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)

Gráfica de límites al infinito

Solución:

Si observamos el límite cuando x tiende a + infinito, vemos que la función se aproxima a 3, y cuando el límite tiende a - infinito vemos que la función se aproxima a cero. Por lo tanto:

\displaystyle \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)\approx 3

\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)\approx 0

límites infinitos

🔸 Ejemplos Resueltos de Límites Infinitos

Veamos los siguientes ejercicios

 Problema 1.- Evalúe el siguiente límite de la siguiente función 

\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{x-3}

Solución:

1️⃣ Paso 1: Evaluamos el límite

\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{x-3}=\frac{3+2}{3-3}=\frac{5}{0}

El resultado es un caso de n/0, el límite no existe, pero tiene la forma necesaria para que pueda ser un límite infinito.

2️⃣ Paso 2: Examine el límite por la izquierda.

  1. El numerador se acerca a 5, por lo que será positivo.
  2. Como x se acerca a 3 desde la izquierda, el denominador será negativo.
  3. A medida que el denominador se reduce a 0, la función se vuelve infinitamente grande.

\displaystyle \underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{x-3}=-\infty

3️⃣ Paso 3: Examinando el límite por derecha.

  1. El numerador se acerca a 5, por lo que será positivo.
  2. Como x se acerca a 3 desde la derecha, el denominador será positivo.
  3. A medida que el denominador se reduce a 0, la función se vuelve infinitamente grande.

\displaystyle \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{x-3}=\infty

Respuesta:

\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{x-3}=no\,existe

 Problema 2.- Evalúe el siguiente límite de la siguiente función 

\displaystyle \underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-5}{{{x}^{2}}+4x+4}

Solución:

1️⃣ Paso 1: Evaluamos el límite

\displaystyle \underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-5}{{{x}^{2}}+4x+4}=\frac{{{(-2)}^{2}}-5}{{{(-2)}^{2}}+4(-2)+4}=\frac{4-5}{0}=\frac{-1}{0}

El límite no existe, pero tiene la forma n/0, por lo que podría ser un límite infinito

2️⃣ Paso 2:  Intente factorizar el denominador para que los límites unilaterales sean más fáciles de analizar.

\displaystyle \underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-5}{{{x}^{2}}+4x+4}=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-5}{{{(x+2)}^{2}}}

3️⃣ Paso 3: Examinando el límite por ambos lados:

  1. En ambos casos, el numerador se aproxima a -1, por lo que el numerador será negativo.
  2. En ambos casos, el denominador se está cuadrando, por lo que siempre será positivo.
  3. En ambos casos, el denominador se acerca a 0, por lo que la función será infinitamente grande

Ambos límites unilaterales crecen infinitamente grandes hacía la dirección negativa.

Respuesta:

\displaystyle \underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-5}{{{x}^{2}}+4x+4}=-\infty

 Problema 3.- Evalúe el siguiente límite de la siguiente función 

\displaystyle \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-16}{{{x}^{2}}-8x+16}

Solución:

1️⃣ Paso 1: Evaluamos el límite

\displaystyle \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-16}{{{x}^{2}}-8x+16}=\frac{{{(4)}^{2}}-16}{{{x}^{2}}-8(4)+16}=\frac{0}{0}

2️⃣ Paso 2:  Intente factorizar el denominador para que los límites unilaterales sean más fáciles de analizar.

\displaystyle \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-16}{{{x}^{2}}-8x+16}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-4)(x+4)}{{{(x-4)}^{2}}}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+4}{x-4}

3️⃣ Paso 3: Evaluando el límite nuevamente

\displaystyle \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+4}{x-4}=\frac{4+4}{4-4}=\frac{8}{0}

Sabemos que el límite no existe. Ya que tiene la forma n/0, podría ser un límite infinito.

4️⃣ Paso 4: Examine el límite por la izquierda.

  1. El numerador se acerca a 8, por lo que será positivo.
  2. Como x se acerca a 4 desde la izquierda, el denominador será negativo
  3. A medida que el denominador se reduce a 0, la función será infinitamente grande.

\displaystyle \underset{x\to {{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+4}{x-4}=\infty

Por lo tanto:

Respuesta:

\displaystyle \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-16}{{{x}^{2}}-8x+16}=no\,existe

 Problema 4.- Evalúe el siguiente límite de la siguiente función 

\displaystyle \underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}+4x}{{{x}^{2}}-25}

Solución:

1️⃣ Paso 1: Evaluamos el límite

\displaystyle \underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}+4x}{{{x}^{2}}-25}=\frac{3{{(5)}^{2}}+4(5)}{{{(5)}^{2}}-25}=\frac{3(25)+20}{25-25}=\frac{95}{0}

El límite no existe, pero tiene la forma n/0, por lo que podría ser un límite infinito.

2️⃣ Paso 2: Examinando el límite por izquierda

  1. El numerador se acerca al 95, por lo que será positivo.
  2. Como x se acerca a 5 desde la izquierda, sabemos que x<5. Esto significa x²<25. Entonces el denominador será negativo.
  3. El denominador se dirige a cero, por lo que la función será infinitamente grande.

Estas consideraciones significan que:

\displaystyle \underset{x\to {{5}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}+4x}{{{x}^{2}}-25}=-\infty

3️⃣ Paso 3: Examinando el límite por derecha.

  1. El numerador se acerca al 95, por lo que será positivo.
  2. Como x se acerca a 5 desde la derecha, sabemos que x>5. Esto significa x²>25. Entonces el denominador será positivo.
  3. El denominador se dirige a cero, por lo que la función será infinitamente grande.

Estas consideraciones significan que:

\displaystyle \underset{x\to {{5}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}+4x}{{{x}^{2}}-25}=\infty

Respuesta

\displaystyle \underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}+4x}{{{x}^{2}}-25}=no\,existe


Ejercicios de repaso (50 puntos):



Ejercicios de repaso (50 puntos):

 Problema.-  Observa el siguiente límite y describe el comportamiento que tiene la función cuando x tiende a infinito

\displaystyle \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}



¿La función es creciente o decreciente? ¿Por qué?

Comenta tu resolución en la parte de abajo y compara con la de tus compañeros.

Tarea:

Elabora una infografía sobre la definición de límite y sus aplicaciones en la vida diaria e industria.

Comentarios

  1. Unknown10 de septiembre de 2021, 5:16 p.m.

    La función es creciente porque a medida que crece el valor de la variable independiente crece el valor de la función (f(x)), o en otras palabras, cuando crece y crece x

    Manuel Alejandro Medellín Flores

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  2. Unknown10 de septiembre de 2021, 5:37 p.m.

    Yordy Hernández Velázquez
    Cálculo integral y diferencial
    Clave:343011
    La función es creciente ya que tiene infinito positivo y al momento de continuar resolviendo la variable x se forma una parábola por lo tanto es una función creciente

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  3. Unknown10 de septiembre de 2021, 6:09 p.m.

    Jonathan Sebastián Felipe la función la función es creciente ya que f(x) aumenta conforme valla creciendo la recta al igual que la (y)

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  4. Unknown10 de septiembre de 2021, 6:30 p.m.

    INGRID SHANTAL VAZQUEZ MARTINEZ_340559
    La función es creciente por que a medida de que el valor de x llega a aumentar, aumenta el de y.de donde el Ax y el Ay tendrán el mismo signo.

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  5. Héctor López gonzales10 de septiembre de 2021, 6:46 p.m.

    Es creciente infinito positivo ya que x aumenta Héctor López gonzales clave única 344145

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  6. María Fernanda Martínez Hernández 11 de septiembre de 2021, 7:04 p.m.

    La función es creciente infinito porque f(x) aumenta y conforme va creciendo f(y) igual
    Clave:347311

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  7. Unknown11 de septiembre de 2021, 7:45 p.m.

    Iliana betsahi Hervert Salazar
    Una función creciente f(x) es una función tal que al aumentar aumenta la variable f(y).

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  8. Unknown11 de septiembre de 2021, 7:49 p.m.

    Rosa Isela Álvarez Zuviri
    Es creciente a medida que crece el valor de la variable f(x) crece el valor de la f(y)

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  9. Unknown12 de septiembre de 2021, 11:56 a.m.

    Montserrat Alejandra Félix Mendoza
    La función es creciente, ya que el valor de la función es x^2, lo que hace que el valor siempre sea positivo ocasionando que la parábola formada avance hacia números positivos.

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  10. Uriel Rivera13 de septiembre de 2021, 8:47 a.m.

    CESAR URIEL HERNÁNDEZ RIVERA
    CLAVE: 347846
    La función es creciente por que cuando dos f(x) va creciendo la recta (y) también aumenta.

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