Cálculo de un limite de una función en un punto

Cálculo de un límite de una función en un punto

Método general 

De manera general, podemos decir que el primer paso para la resolución de un límite es sustituir en f(x) el valor hacia el que tiende x. Entonces puedo obtener:

• Un valor concreto

• Una expresión cuyo resultado no se puede conocer. A este tipo de expresiones se les denomina indeterminaciónes o indeterminadas. Por ejemplo, son indeterminaciones 0/0, ∞-∞, y otras muchas que estudiaremos en el apartado correspondiente

Si obtienes un valor concreto, ¡ya está!. Ese es el valor del límite de la función cuando x se aproxima a a. Pero tranquilo, si obtienes una indeterminación, no quiere decir que el límite no exista... solo que debemos resolverla, esto es, encontrar otro camino que haga desaparecer la indeterminación y nos dé el resultado del límite. Cada tipo de indeterminación tiene una manera concreta de resolverse, que estudiaremos en el apartado dedicado a ello.

De momento vamos a estudiar algunos casos sencillos para los que podemos prescindir de la resolución de indeterminaciones.

Sólo tiene sentido que estudiemos el límite en puntos a los que podamos acercarnos cada vez más, esto es, puntos que pertenezcan al dominio de la función, o muy próximos a estos. Por ejemplo, podemos intentar el cálculo del límite limx→01x, porque los puntos del entorno de 0 sí están en el dominio, pero no tiene sentido que calculemos el límite limx→−3x−−√.

Funciones continuas 

En los puntos en los que las funciones son continuas, el valor del límite coincide con el de la propia función. Aunque aún no hemos estudiado nada sobre la continuidad de las funciones, aprovechamos para adelantarte las siguientes ideas:

• de manera intuitiva sabemos decir si una función es continua en un punto cuando podemos dibujarla 'sin levantar el lápiz del papel en los alrededores de ese punto', y...
• ...decimos que una función es continua (a secas) cuando lo es en todo su dominio, es decir, cuando toda ella puede dibujarse 'sin levantar el lápiz del papel'

La mayoría de las funciones estudiadas son continuas en todos los puntos de su dominio, esto es, los puntos en los que estás definidas, con lo que podemos decir:

Si f(x) es una función habitual definida por una sola expresión analítica y que está definida en x=a, entonces el valor del límite de la función cuando x tiende a a es f(a):

limx→af(x)=f(a)

Se trata del caso más habitual que estudiaremos, y también el más sencillo. 

Ejemplos de cálculo de un límite de una función en punto

Veamos algunos ejemplos. En ellos, todo lo que tienes que hacer es evaluar la función en el punto. ¿Demasiado sencillo?

Funciones polinómicas

limx→0x+1=f(0)=0+1=1limx→2x2+15=f(2)=4+15=215limx→−1x32−2x=f(−1)=(−1)32−2(−1)=−12+2=32limx→−2(x+1)4=f(−2)=(−2+1)4=(−1)4=1

Funciones con radicales

limx→0x−−√=f(0)=0–√=0limx→−1−x+8−−−−−−√=9–√=3limx→3x+1√−x2=4√−32=−12limx→−93x−−√3+3=−3+3=0

Funciones exponenciales

limx→02x=f(0)=20=1limx→1ex+12x=e1+121=2e+12limx→−13x2+2x3=3(−1)2+2(−1)3=3−13=19limx→0x+4−−−−−√+5x=0+4−−−−√+50=2+1=3

Funciones logarítmicas

limx→1log2(x+1)=f(1)=log2(2)=1limx→0.1log10(x)=log(0.1)=log(110)=log(ab)=log(a)−log(b)log(1)−log(10)=0−1=−1limx→e−1e1−e+x+ln(x+1)=e1−e+e−1+ln(e)=1+1=2limx→3log(x+3)+x3=log(3+3)+33=log(6)+1

Funciones seno y coseno

En el caso de las funciones trigonométricas, se asume, a no ser que se diga lo contrario, que el valor de x está en radianes. Así, tendríamos:

limx→0cos(x)=f(0)=cos(0)=1limx→π2sin(x+π)=sin(π2+π)=sin(3π2)=−1

jg

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Ejercicio de repaso (50 ptos):

• Ejercicio: Calcula lo siguiente:

a)

b)

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