3.1.3 Técnicas para calcular limites: Límites por factorización






CASOS DE FACTORIZACIÓN



DIFERENCIA DE CUADRADOS 

Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.
Se tiene el siguiente ejercicio:
6.png
Para comprobar si es una indeterminación, reemplazamos -3 en x:
6.png
Como es una indeterminación, procedemos a verificar los casos de factorización que podemos usar, en este caso diferencia de cuadrados perfectos y simplificamos la función:6.png
Una vez simplificada la función procedemos a reemplazar x, como el denominador ya fue simplificado, la indeterminación ha sido levantada.
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SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Para realizar la aplicación de límites en un caso donde se tenga una suma o diferencia de cubos perfectos es necesario realizar ciertas operaciones ya que, muchas veces, al reemplazar el límite, puede dar como resultado una indeterminación.
Se tiene el siguiente ejercicio:6Para verificar si es una indeterminación se procede a reemplazar el valor del límite que es “2”:
6.pngComo es una indeterminación se procede a descomponer en factores al numerador, siendo este una diferencia de cubos perfectos, para esto hay que saber que la forma de descomponer se da de la siguiente manera:6.png
Sabiendo esto, lo siguiente a realizar es la descomposición del numerador.
6.pngYa habiendo descompuesto, finalmente se procede a simplificar los factores semejantes y a reemplazar el límite.6.png
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TRINOMIO DE LA FORMA (ax^2+bx+c)

La aplicación de la factorización en los limites se da cuando el resultado es de la forma 0/0 (indeterminación)
Cuando se sustituye el valor al cual tiende la variable en la función, es decir, 1.png  y el resultado es de la forma 0/0 es decir, 2.png a este resultado se le llama indeterminación de la forma  0/0. Entonces para poder calcular el límite es necesario quitar esta indeterminación. Para quitar esta indeterminación lo que vamos a hacer es factorizar la función (en el caso en que se pueda) y después simplificar y obtener el límite.
Cuando en el límite se presenta este caso de factorización se lo puede resolver de 2 maneras:
  •  Método de tanteo: (x+a) (x+b) =ax2+bx+c=0
  • Formula general: 3.png

EJEMPLOS 

4.PNG
6.png
5.PNG6.png

 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Un trinomio cuadrado perfecto, por brevedad TCP, es un polinomio de tres términos (también llamado trinomio) que resulta de elevar al cuadrado un binomio.
Todo trinomio de la forma:
6.png
Siendo la regla: Cualquier suma de binomios al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primer por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. De lo anterior resulta que un trinomio será cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones:
El polinomio pueda ser ordenado en potencias descendentes de una variable.
Dos de los términos son cuadrados perfectos.
El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los demás.
El primer y tercer término deben de tener el mismo signo
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Levantar la indeterminación:
6.png
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FACTOR COMÚN

Un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se encuentra en todos los términos del polinomio.
Para efectuar el factor común hay que tomar en cuenta que con la parte literal  “letras” se toma la que tenga el menor exponente de todas y en la parte numérica se saca el Máximo común Divisor.69.png66.pngEJEMPLO CON LIMITES 
6LEVANTAR LA INDETERMINACIÓN CON FACTORIZACIÓN 
6
6.png


  • Observa los siguientes vídeos:
Ejemplo 1
Ejemplo 2


Actividad evalúa tu conocimiento (50 ptos):

Contesta el siguiente formulario. (Da clic aquí)

Ejercicio de repaso (50 ptos):

  • Ejercicio: Calcula el límite de la siguiente función:





Comenta tu resolución en la parte de abajo y compara con la de tus compañeros.

Comentarios

  1. Unknown7 de mayo de 2020, 2:00 p.m.

    Salazar Castillo:
    (x-1)(x-4)/(x+2)(x-4)= (x-1)/(x+2) = x tiende a 4 = (4-1)/(4+2) = 3/6 = 1/2 =0.5

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  2. Unknown9 de mayo de 2020, 11:48 a.m.

    Pérez Salazar-0278112
    lim(x→4)⁡ ((x(x-1)-4(x-1))/(x(x+2)-4(x+2))
    lim(x→4)⁡ ((x-1)-(x-4))/((x+2)-(x+4))
    lim(x→4)=(4-1)/(4+2) = 3/6
    lim(x→4)=1/2

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  3. Unknown9 de mayo de 2020, 12:24 p.m.

    Gonzalez Padilla 281757
    ((x-1)-(x-4))/((x+2)-(x+4))
    (4-1)/(4+2):3/6
    0.5

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  4. Unknown9 de mayo de 2020, 12:58 p.m.

    Simplificamos la ecuación x^2-5x+4/x^2-2x-8= x-1/x+2 sustituimos cuando x tiende a 4 = 4-1/4+2= 1/2

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  5. lucia guadalupe perez salazar9 de mayo de 2020, 2:30 p.m.

    lim x→4 = (x(x-1)-4(x-1)/(x(x+2)-4(x+2)
    lim x→4⁡ = (x-1)-(x-4)/((x+2)-(x+4)
    lim x→4 =(4-1)/(4+2)
    lim x→4= 3/6
    lim(x→4)= 1/2= 0.5

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  6. Samantha Sanchez Martinez9 de mayo de 2020, 2:35 p.m.

    SAMANTHA SANCHEZ MARTINEZ
    Primero al sustituir X nos damos cuenta que el resultado es 0/0 es indeteminada. Y facorizamos todo primero arriba y continuamos con abajo
    Al factorizar queda al ultimo
    (X-1)/(X+2)= 4-1/4+2= 3/6= 1/2

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  7. Juan Eduardo Medina Rodriguez9 de mayo de 2020, 3:30 p.m.

    MEDINA RODRIGUEZ JUAN EDUARDO 234862 IER
    ((x-1)-(x-4))/((x+2)-(x+4))
    (4-1)/(4+2):3/6
    1/2

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  8. Unknown9 de mayo de 2020, 4:45 p.m.

    Nombre: Gonzalez Ortega Miguel Angel
    Clave: 234862
    Carrera: IER
    Limite Tiende x--->4
    ((x-1)-(x-4))/((x+2)-(x+4))
    (4-1)/(4+2):3/6
    1/2

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  9. Unknown9 de mayo de 2020, 4:53 p.m.

    cinthia contreras banda

    primero evaluamos el limite lo que nos da a cero, despues lo resolvemos de la siguiente manera

    lim (x^2-x-4x+4x)/ x^2-2x-8)

    lim (xx(x-1)-4x+4) / x^2+2x-4x-8)

    lim (x-1)/(x+2)
    lim (4-1)/(4+2)
    = 1/2

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  10. Isra9 de mayo de 2020, 10:09 p.m.

    Torres Castillo Israel--277491
    lim(x→4)⁡ ((x(x-1)-4(x-1))/(x(x+2)-4(x+2))
    ((x-1)-(x-4))/((x+2)-(x+4))
    =(4-1)/(4+2) = 3/6
    lim(x→4)=1/2

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  11. Unknown23 de mayo de 2020, 11:29 p.m.

    Cristian Leija Sandoval - 283040 - IER

    ((x-1)-(x-4))/((x+2)-(x+4))
    (4-1)/(4+2):3/6
    0.5

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  12. Unknown25 de mayo de 2020, 8:50 p.m.

    Jesús Emmanuel Serrato Rodríguez
    0311339 IER
    lim(x→4)⁡ ((x(x-1)-4(x-1))/(x(x+2)-4(x+2))
    lim(x→4)⁡ ((x-1)-(x-4))/((x+2)-(x+4))
    lim(x→4)=(4-1)/(4+2) = 3/6
    lim(x→4)=1/2

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  13. Unknown7 de septiembre de 2021, 6:01 p.m.

    INGRID SHANTAL VAZQUEZ MARTÍNEZ_340559

    lim(x-->4) ((x(x-1)-4(x-1))/(x+2)-4(x+2))
    lim(x-->4)((x-1)-(x-4))/((x+2)-(x+4))
    lim(x-->4)=(4-1)/(4+2)=3/6
    lim(x-->4)=1/2

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  14. Unknown7 de septiembre de 2021, 6:16 p.m.

    Yordy Hernández Velázquez
    Solo se sustituye el valor de x por 4
    X2-5x+4/X2-2x-8=
    16-20+4/16-8-8=0/0
    Osea la factorización es una indeterminacion por qué el resultado es 0/0

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  15. Unknown7 de septiembre de 2021, 9:05 p.m.

    Manuel Alejandro Medellín Flores
    Vamos a sustituir el valor de x en la ecuación, en este caso x=4

    Simplificamos
    x^2-5x+4 / x^2-2x-8= x-1 / x+2

    (4)-1 / (4)+2= 4/8= 1/2 o 0.5

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  16. Unknown8 de septiembre de 2021, 7:04 p.m.

    Montserrat Alejandra Félix Mendoza
    la función dice:
    lim x-->4 x^2 - 5x + 4/ x^2 - 2x - 8
    si solo sustituimos x en la ecuación el resultado sería
    (4)^2 - 5 (4) + 4/ (4)^2 - 2 (4) - 8 = 20 - 20/ 16 - 16
    = 0/0 lo que sería una indeterminación, por lo que es necesario factorizar quedando de la siguiente manera:
    lim x-->4 x^2 - 5x + 4/ x^2 - 2x - 8
    = (x - 4) (x - 1)/ (x - 4) (x - 2) = x - 1/ x + 2 = 4 - 1/ 4 + 2
    = 3/ 6 o podemos simplificar dividiendo entre 3, lo que sería = 1/2

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  17. María Fernanda Martínez Hernández 10 de septiembre de 2021, 12:45 a.m.

    María Fernanda Martínez Hernández
    lim(x-4) (x(x-1)-4(x-1)/(x(x+2)-4(x+2)
    lim(x-4)⁡ (x-1)-(x-4)/(x+2)-(x+4)
    Se elimina la indeterminación que es x-4
    lim(x-4)=(4-1)/(4+2) = 3/6
    lim(x-4)=1/2

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  18. Unknown10 de septiembre de 2021, 9:42 p.m.

    LimiteX tiende a 4
    (x-1)-(x-4)/(x+2)-(x+4)= (4-1)/(4+2)= 3/6= Simplificando es 1/2

    Manuel Alejandro Medellín Flores

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  19. Unknown11 de septiembre de 2021, 6:50 p.m.

    Sustituir el valor de x que es igual a 4:
    X-1/X+2 = 4-1/4+2=1/2
    Iliana betsahi Hervert Salazar.

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  20. Unknown11 de septiembre de 2021, 6:50 p.m.

    Sustituimos el valor de x=4
    X-1/x+2=4-1/4+2=1/2
    Rosa Isela Álvarez Zuviri

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  21. Unknown12 de septiembre de 2021, 8:25 a.m.

    Jonathan Sebastián Felipe para la resolución se sustituye por su valor buscado simplificarlo hasta optener el resultado

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  22. Uriel Rivera13 de septiembre de 2021, 4:27 p.m.

    Cesar uriel Hernández Rivera
    1A clave: 347846
    ((X-1)-(x-4))- / ((x + 2)- (x + 4))
    (4-1) / (4 + 2): 3.6
    0.5

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